6) Для решения этой задачи построим сечение куба, проходящее через середины рёбер BB1, СD, AD. Получим треугольник с вершинами M, N, P (середины рёбер). Площадь этого треугольника можно найти, используя формулу площади треугольника по координатам вершин:
S = 1/2 |XM YN - XM YP + XM YP|

Примем сторону куба за единицу, тогда координаты середин рёбер будут:

B = (1, 1, 0)
B1 = (1, 1, 1)
C = (1, 0, 0)
D = (0, 1, 0)
M = ((1+1)/2, (1+1)/2, 0) = (1, 1, 0)
N = ((1+1)/2, 0, (1+1)/2) = (1, 0, 1)
P = (0, 1, (1+1)/2) = (0, 1, 1)

Теперь подставим координаты точек в формулу площади треугольника:

S = 1/2 |1 0 - 1 1 + 1 1| = 1/2 |0 - 1 + 1| = 1/2 |0| = 0

Следовательно, площадь сечения куба, проходящего через середины рёбер BB1, СD, AD, равна 0.

5) Для нахождения расстояния от наименьшего ребра до наибольшей диагонали грани, скрещивающейся с ним, сначала найдем диагональ параллелепипеда. Для этого воспользуемся формулой:

d = √(a^2 + b^2 + c^2)

Где a, b, c - стороны параллелепипеда. В нашем случае a = 4, b = 4, c = 2:

d = √(4^2 + 4^2 + 2^2) = √(16 + 16 + 4) = √36 = 6

Следовательно, диагональ параллелепипеда равна 6.

Наименьшее ребро параллелепипеда - это 2, расстояние от него до наибольшей диагонали (6) можно найти, используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, один катет которого равен наименьшему ребру, а второй - половине диагонали:

расстояние^2 = диагональ^2 - (наименьшее ребро/2)^2
расстояние = √(6^2 - (2/2)^2) = √(36 - 1) = √35

Таким образом, расстояние от наименьшего ребра до наибольшей диагонали грани, скрещивающейся с ним, равно √35.