Посмотрим на треугольник BCM.

Из условия bc = 3ab и того, что угол в $\angle B$ равен 60 градусов следует, что треугольник ABC является равносторонним.

Значит, AB = BC = AC.

Также, так как окружность вписана в треугольник ABC, то BM = MC.

Получается, что треугольник BCM - равносторонний, следовательно, угол в $\angle C$ равен 60 градусов.

Теперь заметим, что Луч BO разбивает угол в $\angle A$ пополам.

Таким образом, угол в $\angle CMB$ равен 30 градусов.

Теперь можем воспользоваться теоремой синусов для треугольника CMB:

sin(30 градусов) / CM = sin(60 градусов) / (2CM).

Отсюда найдем, что CM = $\frac{\sqrt{3}}{2} BM = \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{AC}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} * AC$.

Таким образом, CM равно $\frac{\sqrt{3}}{4} * AC$.