Пусть высота, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна h см.

Так как биссектриса острого угла делит катет на отрезки равные 2 и 4 см, то можно составить уравнение:
h = 2x,
h = 4y,

где x и y - проекции высоты соответственно на отрезки 2 и 4 см.

Пусть a и b - катеты треугольника, где a - катет, к которому проведена высота. Тогда b = 4 - x и a = 2 - y.

Так как треугольник прямоугольный, то по теореме Пифагора:
a^2 + b^2 = c^2,
(2 - y)^2 + (4 - x)^2 = h^2,
(2 - y)^2 + (4 - x)^2 = (2x)^2.

Разложим по формуле квадрата суммы:
4 - 4y + y^2 + 16 - 8x + x^2 = 4x^2,
y^2 - 4y + 16 + x^2 - 8x + 4 = 4x^2,
x^2 - 8x + y^2 - 4y + 12 = 4x^2.

Учитывая что h = 2x, подставим выражение для h:
x^2 - 8x + y^2 - 4y + 12 = 4x^2,
y^2 - 4y + 12 = 3x^2,
y^2 - 4y + 12 = 3(2^2),
y^2 - 4y + 12 = 12,
y^2 - 4y = 0,
y(y - 4) = 0.

Отсюда получаем два возможных значения для y:
y1 = 0,
y2 = 4.

Если y1 = 0, то x = 2, h = 4 см.
Если y2 = 4, то x =1, h = 2 см.

Таким образом, высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна 4 или 2 см.