Объем конуса, вписанного в пирамиду, можно найти по формуле:

V = (1/3) π r^2 * h,

где r - радиус основания конуса, h - высота конуса.

Для нахождения радиуса основания конуса (r) воспользуемся теоремой Пифагора для правильной треугольной пирамиды:

cos(α) = r / l,

где l - длина ребра пирамиды, l = H / sin(α).

Отсюда находим r:

r = l cos(α) = H cos(α) / sin(α).

Таким образом, мы можем выразить радиус основания конуса через высоту пирамиды и угол α.

Теперь подставляем найденное значение r в формулу для объема конуса:

V = (1/3) π (H cos(α) / sin(α))^2 h = (1/3) π (H^2 cos^2(α) / sin^2(α)) h = (1/3) π H^2 cot^2(α) h.

Таким образом, объем конуса, вписанного в пирамиду, равен (1/3) π H^2 cot^2(α) h.