Пусть радиус окружности равен r, a b c - стороны треугольника, h - его высота. Так как треугольник равнобедренный, a = c, и так как центр окружности лежит на высоте, она является медианой, что делит её на две равные части, следовательно, a = 2h. Так как r равен радиусу вписанной окружности, a равна сумме длин отрезков между точками касания и вершиной треугольника каждой стороны. По теореме Пифагора выразим длину а как $\sqrt{r^{2} + \left(\frac{b}{2}\right)^{2}}$ и т.к. a=2h, то $\frac{b}{2} = \sqrt{2}$. Площадь треугольника равна половине произведения его высоты на длину основания, т.е. S=(1/2)2h b = hb. Т.к. мы выразили длину основания b, то подставляем значения и получаем S= h2sqrt{2} 2 h = 4sqrt{2}h^{2}, таким образом S = 4sqrt{2} * h^{2}.