Площадь параллелограмма равна произведению длины одной из сторон на высоту, опущенную на эту сторону.

Поскольку диагональ BD параллельна стороне AD, значит, треугольник ABD является прямоугольным, так как угол B равен 90 градусов (из свойств параллелограмма).

Так как известно, что AB = 12 см и угол A = 45 градусов, то BC = AB = 12 см (все стороны параллелограмма равны по модулю).

Из прямоугольного треугольника ABD по теореме Пифагора найдем длину диагонали: AB^2 + BD^2 = AD^2 => 12^2 + BD^2 = AD^2 => 144 + BD^2 = AD^2.

Так как угол ABD = 45 градусов, то треугольник ABD равнобедренный, значит AB = BD. Подставим это в уравнение: 144 + AB^2 = AD^2 => 144 + 12^2 = AD^2 => 144 + 144 = AD^2 => AD = 12√2 см.

Теперь найдем высоту, опущенную на сторону AD. Проекция вектора AD на сторону AB равна длине стороны AB (так как диагональ параллельна стороне). Следовательно, высота равна ADsin(угол A) = 12√2sin45° = 12 см.

Теперь можем найти площадь параллелограмма:

S = AB h = 12 см 12 см = 144 см^2.

Ответ: площадь параллелограмма ABCD равна 144 квадратных сантиметра.