Пусть сторона ромба равна a. Так как угол равен 60 градусов, то угол между сторонами ромба и радиусом вписанной окружности равен 30 градусов.
Таким образом, мы можем разделить ромб на два равнобедренных треугольника, в каждом из которых угол между стороной ромба и радиусом вписанной окружности равен 30 градусов.

Так как угол внутри треугольника равен 30 градусам, то он является равносторонним треугольником. Значит, радиус равен половине стороны треугольника.
Из свойств равностороннего треугольника, радиус равен a/2.

Пусть стороны трапеции равны a и b, а средняя линия равна h. Пусть h_c - высота трапеции.
Так как средняя линия трапеции равна среднему арифметическому оснований, то h = (a + b)/2.

Также известно, что радиус описанной окружности t равен 96, это значит, что он равен половине суммы оснований, умноженной на высоту трапеции, то есть t = (a + b)h_c / 2.

Из системы уравнений h = (a + b)/2 и t = (a + b)h_c / 2, найдем выражение для b:
96 = (a + b)(a + b) / 2
192 = a^2 + 2ab + b^2
192 = (a + b)^2

Таким образом, b = sqrt(192 - a^2) - a.

Мы должны найти такое значение a, при котором b является целым числом.