Используем формулу площади треугольника через площадь их основания и высоты:

S(ABP) = 0.5 AB h1
S(CDP) = 0.5 CD h2
S(BCP) = 0.5 BC h3
S(ADP) = 0.5 AD h4

где h1, h2, h3, h4 - высоты треугольников на их основания (BP, DP, BP, DP соответственно).

Так как диагонали ABCD пересекаются в точке P, то AB и CD, а также BC и AD - параллельны между собой (так как треугольники ABP и CDP, а также BCP и ADP делятся диагоналями на равные треугольники).

Из того, что прямоугольники ABCD образованы пересечениями диагоналей, следует, что их основания параллельны:
AB || CD
BC || AD

Таким образом, по формуле площади треугольника через основание и высоту:
S(ABP) = S(CDP) <=> 0.5 AB h1 = 0.5 CD h2 <=> AB h1 = CD h2 (1)
S(BCP) = S(ADP) <=> 0.5 BC h3 = 0.5 AD h4 <=> BC h3 = AD h4 (2)

Перемножим уравнения (1) и (2):
(AB h1) (BC h3) = (CD h2) (AD h4)
AB BC h1 h3 = CD AD h2 h4

Из чего следует, что произведение площадей треугольников ABP и CDP равно произведению площадей треугольников BCP и ADP:

S(ABP) S(CDP) = AB BC h1 h3 = CD AD h2 h4 = S(BCP) S(ADP)

Что и требовалось доказать.