Обозначим катеты прямоугольного треугольника как $a$ и основание прямоугольника как $x$, а его высоту как $y$. Так как угол прямоугольника совпадает с углом при вершине треугольника, то прямоугольник вписан в треугольник так, что его диагональ лежит на гипотенузе треугольника. Таким образом, длина гипотенузы равна $a$, и мы можем записать уравнение:

$x^2 + y^2 = a^2$.

Так как угол противолежащий вершине под прямым ъглом, совпадает с углом треугольника, значит противолежащий катет прямоугольника также будет равен a. Теперь у нас есть четыре неизвестных - $a$, $x$, $y$ и периметр прямоугольника, обозначим его как $P = 2(x+y)$.

Нам нужно доказать, что $P$ постоянно для данного треугольника, т.е. $P$ не зависит от выбора прямоугольника.

Теперь мы можем выразить $x$ через $a$ и $y$ из уравнения $x^2 + y^2 = a^2$:

$x = \sqrt{a^2 - y^2}$.

Так как противолежащий катет прямоугольника также равен $a$, то его длина равна $2a - y$. Таким образом, периметр прямоугольника равен:

$P = 2(\sqrt{a^2 - y^2} + 2a - y)$.

Теперь продифференцируем это выражение по $y$:

$P' = -\frac{2y}{\sqrt{a^2 - y^2}} - 2$.

Рассмотрим знаменатель в первом слагаемом, $\sqrt{a^2 - y^2}$. По теореме Пифагора, $a^2 = x^2 + y^2$, а значит до попросту подставляем:

$P' = -\frac{2y}{x} - 2$.

Для дальнейших упрощений тут можно подставить $x^2 = a^2 - y^2$:

$P' = -\frac{2y}{\sqrt{a^2 - y^2}} - 2$.

Как видим, члены оказываются аналогичные с членами $P$, а значит $P' = 0$. Теперь можем заключить, что периметр прямоугольника действительно постоянен для данного треугольника, и не зависит от выбора прямоугольника.