Пусть катеты прямоугольного треугольника равны а и b, где a < b. Тогда у нас есть система уравнений:

a^2 + b^2 = 22.25
ab = 10

Решим эту систему уравнений. Подставим ab = 10 в первое уравнение:

a^2 + (10/a)^2 = 22.25
a^4 - 22.25a^2 + 100 = 0
(a^2 - 20)(a^2 - 5) = 0

Таким образом, получаем два возможных значения для катетов: a = sqrt(5) и b = sqrt(20). Так как а < b, то a = sqrt(5) и b = sqrt(20).

Теперь найдем тангенс острого угла треугольника:

tan(α) = a / b = sqrt(5) / sqrt(20) = 1 / sqrt(4) = 1 / 2

Таким образом, наибольшее значение тангенса острого угла прямоугольного треугольника равно 1/2.