Для начала найдем длины сторон ромба. Поскольку диагонали ромба равны, то можем разложить ромб на два равнобедренных треугольника. Так как в треугольнике ACB и BDA углы напротив равны диагоналям, то эти треугольники равнобедренные.

Пусть AC=x, BD=y. Тогда по теореме Пифагора:
AB^2 = AC^2 + BC^2
16^2 = x^2 + (\frac{y}{2})^2
256 = x^2 + \frac{y^2}{4} (1)

AD^2 = AC^2 + CD^2
12^2 = x^2 + (\frac{y}{2})^2
144 = x^2 + \frac{y^2}{4} (2)

Выразим x из уравнения (2) и подставим в уравнение (1):
144 = 256 - 4y^2
4y^2 = 112
y^2 = 28
y = 2sqrt{7}

Теперь найдем вектор AD через вектор AC:
AD = AC + CD = AC + BC = AC + 2BD = x + 4sqrt{7}

Длина вектора AD-AC = 4sqrt{7}.

Ответ: 4sqrt{7}.