1) Площадь равностороннего треугольника можно найти по формуле S = (a^2 √3) / 4, где a - длина стороны треугольника. Так как треугольник равносторонний, то высота, проведенная к стороне, делит его на два равнобедренных треугольника. Поэтому высота равна половине стороны: h = a / 2. Таким образом, a = 2h = 2 6см = 12см. Подставляем значение стороны в формулу площади: S = (12^2 * √3) / 4 = 36√3 см^2.

2) Площадь прямоугольного треугольника равна S = (a b) / 2, где a и b - катеты треугольника. Так как отношение острых углов 1:2, то углы равны 30° и 60°. По теореме о треугольниках, отношение длин катетов при угле 30° равно √3. Поэтому a = 8 / √3, b = 8 √3. Подставляем значения катетов в формулу площади: S = ((8 / √3) (8 √3)) / 2 = 32 см^2.

3) Пусть длины сторон прямоугольника равны a и b. Тогда по условию задачи имеем систему уравнений:
2a + 2b = 40,
ab = 36.
Решая систему уравнений, находим a = 6 м, b = 6 м.

4) Пусть один катет равен 5 см, а тангенс противолежащего угла равен 1,25. Тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету. Поэтому tg(α) = 5 / x = 1.25, где х - длина противолежащего катета. Решив уравнение, находим x = 5 / 1.25 = 4 см.