Для начала обозначим радиус описанной окружности как R и радиус вписанной окружности как r.
Так как рассматриваемый многоугольник является правильным, то у него все стороны равны (пусть каждая сторона равна a) и он описан вокруг окружности диаметра D равного a.

Для начала найдем радиус вписанной окружности r.

Для этого построим лучи, исходящие из центра вписанной окружности к серединам сторон многоугольника и к точкам касания вписанной окружности со сторонами многоугольника, а также радиусы, проведенные из центра окружности к вершинам многоугольника и точкам касания.

Таким образом, мы можем разбить правильный n-угольник на n равнобедренных треугольников с углами, прилегающими к центру окружности, равными 360/n.

Теперь мы видим, что у каждого такого равносстороннего треугольника сторона, радиус вписанной окружности и высота треугольника связаны соотношением

r = a/(2*tg(180/n)).

Далее, найдем радиус описанной окружности R.

Так как диаметр описанной окружности равен a (стороне многоугольника), то радиус R будет равен a/2.

Теперь мы можем найти соотношение между радиусами вписанной и описанной окружностей:

r = a/(2tg(180/n)) = a/(2sin(180/n)/cos(180/n)) = a/(22sin(180/n/2)cos(180/n/2)) = a/(4tg(180/n/2)) = a/(4tg(90 - 180/n/2)) = a/(4tg(90 - 90/n)) = a/(4 ctg(90/n)) = a/(4 tg(180/n)).

Таким образом, мы доказали, что r = R * cos(180/n) для правильного n-угольника.