Пусть основания трапеции равны a и b, а высота h. Так как трапеция равнобедренная, то ее радиус r равен средней линии h:

r = h = 12 см

Также известно, что радиус вписанной окружности равен площади трапеции поделить на полупериметр трапеции:

r = S / (a + b + 2h)

r = 5 см, h = 12 см

5 = S / (a + b + 24)

a + b = (S - 120) / 5 (1)

Также известно, что площадь трапеции равна полупроизведению средней линии на сумму ее оснований:

S = 12 * (a + b) / 2

S = 6 * (a + b) (2)

Подставим (1) в (2):

S = 6 * ((S - 120) / 5)

5S = 30 * (S - 120)

5S = 30S - 3600

25S = 3600

S = 144 см²

Ответ: площадь трапеции равна 144 кв. см.