Обозначим высоту треугольной пирамиды через h, апофему - через r, а сторону основания - через a.

Так как угол между высотой и апофемой прямой, мы можем разделить треугольную пирамиду на два прямоугольных треугольника. В каждом из них угол при основании равен "альфа", а катетами являются r/2 и h/2. Таким образом, tg(альфа) = (r/2) / (h/2) = r / h.

Также, так как отрезок, соединяющий середину высоты с серединой апофемы, равен "a", мы имеем r = sqrt(h^2 + (a/2)^2).

Подставляем это выражение в предыдущее уравнение: tg(альфа) = sqrt(h^2 + (a/2)^2) / h.

Теперь найдем объем пирамиды. Объем прямоугольной пирамиды равен (1/3) S h, где S - площадь основания. А площадь основания треугольной пирамиды равна (1/2) a r (так как она равнобедренная).

Подставляем известные значения:
S = (1/2) a sqrt(h^2 + (a/2)^2),
V = (1/3) ((1/2) a sqrt(h^2 + (a/2)^2)) h = (1/6) a h * sqrt(h^2 + (a/2)^2).

Таким образом, объем треугольной пирамиды равен (1/6) a h * sqrt(h^2 + (a/2)^2).