Объём правильной четырёхугольной пирамиды можно найти по формуле:
V = (1/3) S H,
где S - площадь основания пирамиды, H - высота пирамиды.

Площадь основания четырёхугольной пирамиды можно найти как сумму площадей всех четырёх треугольников, образующих основание.

Пусть a - длина стороны основания пирамиды, тогда S = 4 a^2 cot(π/4), где cot(π/4) = 1

Таким образом, S = 4 * a^2.

Также нам даны высота Н и двугранный угол α при боковом ребре. Если мы проведём высоту пирамиды, она будет разделена на два равных участка высотой H/2 каждый. Так же, боковая грань треугольника с высотой H/2 является равнобедренным треугольником с углом α при основании.

Из геометрии равнобедренного треугольника, мы можем найти сторону основания a как:
а = 2 (H/2) tan(α/2) = H * tan(α/2).

Теперь, зная сторону основания a и площадь основания S, мы можем найти объём пирамиды по формуле V = (1/3) S Н:
V = (1/3) 4 a^2 Н = (4/3) H * tan(α/2)^2.

Итак, объём правильной четырёхугольной пирамиды с высотой Н и двугранным углом α при боковом ребре равен (4/3) H tan(α/2)^2.