Для начала найдем радиус конуса. Обозначим его через ( r ).

Как известно, в равносторонем треугольнике все стороны равны. Поэтому каждая сторона равна 10 см. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный медианой основания конуса и радиусом конуса. Медиана равностороннего треугольника делит его на два равных прямоугольных треугольника, в которых один катет равен стороне треугольника, а другой - половине стороны треугольника.

( r^2 = \left(\frac{10}{2}\right)^2 + h^2 )

( r^2 = 25 + h^2 )

Так как у равностороннего треугольника высота делит его на два равных прямоугольных треугольника, где катеты равны стороне треугольника, то оба катета равны 5 см.

( r^2 = 25 + 5^2 )

( r^2 = 25 + 25 )

( r^2 = 50 )

( r = \sqrt{50} )

( r = 5\sqrt{2} ) см - радиус конуса.

Теперь найдем высоту конуса. Используем явно заданную сторону равностороннего треуголька.

Пусть "A" будет точкой, образующей центр описанной окружности. Тогда медиана того равностороннего треугольника равна одной из его радиусов.

( \frac{h}{r} = \frac{\sqrt{3}}{2} )

( h = \frac{5\sqrt{3}}{2} ) см - высота конуса.

Итак, радиус конуса ( r = 5\sqrt{2} ) см, а высота конуса ( h = \frac{5\sqrt{3}}{2} ) см.