Поскольку точка B - середина отрезка AK, то AB = BK. Обозначим основания трапеции ABCD за a и b, тогда AK = AD + ab/(a+b), BK = AK - a = AD + ab/(a+b) - a = b + ab/(a+b) - a. Таким образом AK = b + ab/(a+b) и BK = b + ab/(a+b) - a, откуда b + ab/(a+b) = b + ab/(a+b) - a, что означает ab/(a+b) = ab/(a+b) - a, отсюда a = b.

Из условия задачи также следует, что AK = 2AB = 2a. Таким образом, 2a = 12, a = 6 см, b = 6 см.

Итак, сумма оснований трапеции равна 6 + 6 = 12 см.