Пусть ABC - равносторонний треугольник, описанный вокруг окружности с центром O и радиусом R, и вписанный в окружность с центром I и радиусом r.

Так как центры вписанной и описанной окружностей совпадают, то AI = IO = R - r.

Проведем радиусы вписанной и описанной окружностей к вершине треугольника A. Так как треугольник ABC равносторонний, то угол при вершине A равен 60 градусам.

Также угол между радиусом вписанной окружности AI и стороной треугольника AB равен 30 градусам (половина угла при вершине A).

Поделим треугольник на два равнобедренных треугольника AIO и AIB, где IB - высота треугольника на сторону AB.

В треугольнике AIO угол AIO = 60 градусов, AI = R - r, так как IO = R - r.

Из тригононметрии в равнобедренном треугольнике AIO получаем, что:
sin 30 = r / (R - r),
sin 60 = r / AI.

Sin 30 = 1/2, sin 60 = √3/2.

Отсюда получаем, что R - r = 2r,
и R = 3r.

Таким образом, радиус описанной окружности в два раза больше радиуса вписанной.