Поскольку внешний угол при вершине B равен 150 градусов, то внутренний угол при вершине B равен 180° - 150° = 30°.

Так как в треугольнике ABC угол BAC равен 90° (по условию), то угол ABC = 90° - 30° = 60°.

Поскольку AC + AB = 12, можно утверждать, что:
AC = AB • tg(60°).

Т.к. tg(60°) = √3, то
AC = AB • √3.

Т.к. по условию треугольник прямоугольный и AC и AB - катеты то
AC^2 + AB^2 = гипотенуза^2
AB^2 + (AB • √3)^2 = гипотенуза^2
AB^2 + 3AB^2 = гипотенуза^2
4AB^2 = гипотенуза^2
2AB = гипотенуза.

Таким образом, длина гипотенузы равна 2AB. Если AC + AB = 12, то AC = 12 - AB.

Подставим выражение для AC в предыдущее уравнение:
12 - AB = AB • √3,
12 = AB(1 + √3),
AB = 12 / (1 + √3),
AB = 12(√3 - 1) / 2,
AB = 6(√3 - 1).

Таким образом, AB = 6(√3 - 1) и гипотенуза = 2AB = 12(√3 - 1).