Чтобы найти радиус вписанной окружности в треугольник А1В1С1, можно воспользоваться формулой радиуса вписанной окружности для любого треугольника:

r = S / p,

где r - радиус вписанной окружности, S - площадь треугольника, p - полупериметр треугольника.

Сначала найдем площадь треугольника А1В1С1. Поскольку треугольник А1В1С1 является подобным треугольнику ABC, соответственные стороны которых пропорциональны, можно установить, что S(A1B1C1) = S(ABC) * (r / R)^2, где R - радиус описанной окружности треугольника ABC, r - радиус вписанной окружности треугольника A1B1C1.

Площадь треугольника ABC можно найти, используя формулу Герона:

S(ABC) = √(p(p-a)(p-b)*(p-c)),

где a, b, c - длины сторон треугольника, p = (a + b + c) / 2 - полупериметр треугольника.

Подставим значения сторон треугольника ABC: a = 4, b = 5, c = 6. Найдем сначала полупериметр:

p = (4 + 5 + 6) / 2 = 7.5.

Теперь найдем площадь треугольника ABC:

S(ABC) = √(7.5 (7.5 - 4) (7.5 - 5) (7.5 - 6)) = √(7.5 3.5 2.5 1.5) = √((61.875)) ≈ 7.85.

Теперь найдем радиус описанной окружности треугольника ABC с помощью формулы:

R = (a b c) / (4 S(ABC)) = (4 5 6) / (4 7.85) = 120 / 31.4 ≈ 3.82.

Теперь, найдем площадь треугольника A1B1C1:

S(A1B1C1) = S(ABC) (r / R)^2 = 7.85 ((r / 3.82)^2).

Таким образом, чтобы найти радиус вписанной окружности в треугольник А1В1С1, сначала найдем площадь треугольника A1B1C1, а затем используем формулу для радиуса вписанной окружности.