Обозначим через ( x ) расстояние от точки ( E ) до прямой ( СД ).

Так как окружность проходит через точки ( C ) и ( D ) и касается прямой ( AB ) в точке ( E ), то угол ( ACE ) прямой, а значит треугольники ( ACE ) и ( EBD ) подобны.

Из подобия треугольников получаем, что (\frac{AE}{ED} = \frac{AC}{BD} = \frac{1}{2} ) (так как ( AC = 3 ), ( BD = 6 )).

Также по условию ( AD = 4 ). Так как ( AE + ED = AD = 4 ), а также (\frac{AE}{ED} = \frac{1}{2} ), то ( AE = \frac{4}{3} ), ( ED = \frac{8}{3} ).

Теперь используем теорему Пифагора в треугольнике ( ECD ):

[ EC^2 = ED^2 - CD^2 = \left(\frac{8}{3}\right)^2 - 3^2 = \frac{64}{9} - 9 = \frac{1}{9} ]

Отсюда ( EC = \frac{1}{3} ).

Так как треугольники ( AEC ) и ( DEC ) подобны, и ( EC = \frac{1}{3} ), то

[ x = \frac{AE}{AC} \cdot \left(EC + DC\right) = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{3} + 3\right) = \frac{2}{3} ]

Итак, расстояние от точки ( E ) до прямой ( CD ) равно ( \frac{2}{3} ).