Пусть длина стороны ромба равна а, тогда площадь ромба равна S = а * h, где h - высота ромба.

Треугольник AOE - прямоугольный, так как oe перпендикулярно ab.

Площадь треугольника AOE равна 27 см^2, а высота h этого треугольника равна:

h = 2 S / ac = 2 27 / 2 = 27 см.

Так как ac:be=2:3, то площадь треугольника AOE равна половине произведения длины его диагоналей:

S = 1/2 ac oe.

Подставляем значения и находим oe:

27 = 1/2 2 oe,
27 = oe,
oe = 27 см.

Отрезки ac и be являются диагоналями ромба. По теореме Пифагора для треугольника ABC с гипотенузой ac и катетами a/2 и 3a/2:

ac^2 = (a/2)^2 + (3a/2)^2,
ac^2 = a^2/4 + 9a^2/4,
ac^2 = 10a^2/4,
ac^2 = 5a^2.

Длина диагонали ac равна корню из 5 разностью квадратов координат ее концов. Так как O - центром ромба, то координаты его точек A, B, C и D равны с точностью до знака. Поэтому длина диагонали ac равна:

ac = 2 oe = 2 27 = 54 см.

Находим длину стороны а ромба через соотношение сторон:

ac = a √5,
54 = a √5,
a = 54 / √5 = 12√5 см.

Наконец, находим площадь ромба:

S = а h = 12√5 27 = 324√5 см^2.

Ответ: Площадь ромба равна 324√5 квадратных сантиметров.