Для начала найдем длину основания треугольника.

Пусть основание треугольника равно а, тогда вершина и высота, проведенная из нее, делятся на отрезки длиной 5 см и 13 см.

Следовательно, у нас будет равносильная система уравнений:

a/5 = 13/(a-5)

а = 25

Теперь найдем высоту треугольника с помощью теоремы Пифагора:

(25/2)^2 + h^2 = 13^2

625/4 + h^2 = 169

h^2 = 169 - 156,25 = 12,75

h = √12,75 ≈ 3,57

Теперь найдем площадь треугольника:

S = (25*3,57)/2 ≈ 44,63 см^2

Ответ: Площадь треугольника равна 44,63 см^2.