Для того чтобы решить уравнение 4cos^2x+4√3cosx-9=0, давайте сначала заменим cosx на переменную t.

Получим уравнение 4t^2 + 4√3t - 9 = 0.

Теперь вычислим дискриминант этого уравнения:

D = (4√3)^2 - 44(-9) = 48 +144 = 192

Теперь найдем корни уравнения:

t1 = (-4√3 + √192) / 8 = (-4√3 + 4√2) / 8 = -√3 + √2 / 2
t2 = (-4√3 - √192) / 8 = (-4√3 - 4√2) / 8 = -√3 - √2 / 2

Теперь подставим обратно cosx = t:

cosx = -√3 + √2 / 2 или cosx = -√3 - √2 / 2

Теперь найдем все значения углов x, удовлетворяющих уравнению.

x = arccos(-√3 + √2 / 2) или x = arccos(-√3 - √2 / 2)

Таким образом, уравнение 4cos^2x + 4√3cosx - 9 = 0 имеет два решения x = arccos(-√3 + √2 / 2) и x = arccos(-√3 - √2 / 2).