Теорема: Окружность, вписанная в треугольник, касается каждой стороны треугольника в одной точке.

Доказательство: Предположим, что окружность радиуса r вписана в треугольник ABC. Пусть касательные к данной окружности, проведенные к сторонам треугольника, касаются их в точках D, E, F соответственно. Тогда рассмотрим угол BAD.

Так как AD - касательная к окружности, угол ADB прямой. Также угол BAD - внешний угол в треугольнике BDF, поэтому он равен сумме углов BDF и BFD. Угол BDF - внутренний треугольный, поэтому он равен 90 градусов. Угол BFD также равен 90 градусов, так как он вписанный угол, касающийся двух радиусов окружности. Следовательно, угол BAD равен 180 градусов, и точка D лежит на стороне AB. Аналогично, точки E и F также лежат на своих сторонах треугольника.

Таким образом, окружность, вписанная в треугольник, касается каждой стороны треугольника в одной точке.

Количество окружностей, которые можно вписать в данный треугольник, равно 1.