Для расчета вероятности нахождения молекулы в основном колебательном состоянии мы можем использовать статистическую механики и формулу для энтропии Больцмана. Вероятность $P$ нахождения системы в состоянии с энергией $E_n$ может быть выражена через его статистическую весовую функцию и факторы Больцмана.

Для колебательных уровней энергии простого гармонического осциллятора их значения могут быть заданы следующим образом:

$$E_n=\left(n+\frac{1}{2}\right)h\omega$$

где:

$n$ — квантовое число $дляосновногосостояния(n=0)$,$h$ — постоянная Планка $приблизительно(6.626\times 10^{-34})Дж\cdot с$,$\omega$ — угловая частота $вслучаесводородом(\omega =4400)с{м}^{-1},еёнужноперевестивSI:(\omega =4400\times 100{\text{(м)}}^{-1}\times 2\pi \text{(рад)})$.

Энергетический уровень для основного состояния $при(n=0)$:

$$E_0=\frac{1}{2}h\omega$$

Анализируем вероятность нахождения в состоянии с энергией $E_0$ при данной температуре $T$:

$$P_0=\frac{g_0{e}^{-E_0/kT}}{Z}$$

где:

$g_0$ — вырождённость основного состояния, равная 1,$k$ — постоянная Больцмана $(\approx 1.38\times 10^{-23})Дж/K$,$Z$ — статистическая сумма, вычисляемая как $Z={\sum }_n{g}_n{e}^{-E_n/kT}$, но для упрощения рассмотрим только два первых состояния $n=0$ и $n=1$.

Энергия первого возбуждённого состояния $E_1$:

$$E_1=\frac{3}{2}h\omega$$

Теперь можем выразить статистическую сумму $Z$:

$$Z=g_0{e}^{-E_0/kT}+g_1{e}^{-E_1/kT}$$

Так как $g_0=g_1=1$:

$$Z=e^{-E_0/kT}+e^{-E_1/kT}$$

Теперь подставим значения:

При $T=4000K$,$\omega =4400с{м}^{-1}=4400\times 100{м}^{-1}\times 2\pi \approx 27640.2\text{рад/с}$,( h \approx 6.626 \times 10^{-34} \, \text{Дж·с} ),$k\approx 1.38\times 10^{-23}\text{Дж/K}$.

Вычисляем:

$E_0=\frac{1}{2}h\omega$$E_1=\frac{3}{2}h\omega$

Сначала найдем $E_0$ и $E_1$:

$$E_0=\frac{1}{2}\cdot (6.626\times 10^{-34})\cdot (27640.2)\approx 9.146\times 10^{-30}\text{Дж}$$

$$E_1=\frac{3}{2}\cdot (6.626\times 10^{-34})\cdot (27640.2)\approx 2.744\times 10^{-29}\text{Дж}$$

Теперь подставим в формулу для $Z$ и далее для $P_0$:

$$P_0\approx \frac{e^{-E_0/(kT)}}{e^{-E_0/(kT)}+e^{-E_1/(kT)}}$$

Вычисляем $e^{-E_0/(kT)}$ и $e^{-E_1/(kT)}$:

$$e^{-E_0/(kT)}\approx e^{-9.146\times 10^{-30}/(1.38\times 10^{-23}\cdot 4000)}{e}^{-E_1/(kT)}\approx e^{-2.744\times 10^{-29}/(1.38\times 10^{-23}\cdot 4000)}$$

Сделав эти вычисления, получим $P_0$. Так как значения очень малы, вероятности, вероятно, будут близки к нулю.

Это даст вам представление о вероятностях, но не забудьте, что живые вычисления требуют точных значений и единиц измерения.