Обозначим высоту цилиндра как h, а длину, ширину и высоту параллелепипеда как a, b и c соответственно.

Так как параллелепипед описан около цилиндра, то его диагональ равна диагонали цилиндра, то есть длина диагонали параллелепипеда равна диаметру цилиндра. По теореме Пифагора, имеем:

a^2 + b^2 + c^2 = (2r)^2,

где r = 3 дм - радиус цилиндра.

Так как объем параллелепипеда равен 36 дм^3, то имеем:

V = a b c = 36,

или

a = 36 / (b * c).

Заметим, что минимальная диагональ параллелепипеда равна диаметру цилиндра, когда a = b = c. Тогда, подставляя это в первое уравнение, получаем:

3a^2 = 36,

a = 2√(6).

Отсюда c = 2√(6).

Также, имеем:

b * c = 36 / a = 36 / (2√(6)).

Теперь мы можем найти высоту цилиндра h, зная радиус и высоту цилиндра:

V = π r^2 h,
36 = π 3^2 h,
h = 4 / π.

Так как полная поверхность цилиндра состоит из площади двух оснований и боковой поверхности, то полная поверхность равна:

S = 2 π r^2 + 2 π r h = 2 π 3^2 + 2 π 3 4 / π = 18π + 24.

Ответ: Полная поверхность цилиндра равна 18π + 24 квадратных дециметра.