Для решения этой задачи нам нужно найти сначала сторону квадрата основания пирамиды.

Так как диагональ квадрата равна 10 см, то по теореме Пифагора:

(a^2 + a^2 = 10^2)

(2a^2 = 100)

(a^2 = 50)

(a = \sqrt{50} \approx 7.07) см

Теперь мы можем найти объем пирамиды по формуле:

(V = \frac{1}{3} S_{\text{основания}} h),

где (S_{\text{основания}} = a^2 = 50)

(h) - высота пирамиды, которую мы можем найти используя теорему Пифагора:

(h^2 = 13^2 - (\frac{1}{2} * 10)^2),

(h^2 = 169 - 25),

(h^2 = 144),

(h = 12) см

Теперь можем рассчитать объем пирамиды:

(V = \frac{1}{3} 50 12 = 200) куб. см

Ответ: объем пирамиды равен 200 куб. см.