Для решения данного дифференциального уравнения найдем его общий интеграл.

Исходное уравнение:

xy''' + y'' = x + 1

Преобразуем уравнение, представив его в виде:

y''' + (1/x)y'' = (x + 1)/x

Умножим уравнение на x:

xy''' + xy'' = x + x

Подставим z = y':

xz' + z = x + 1

Данное уравнение можно решить методом вариации постоянной, и общий интеграл будет иметь вид:

y = C1x + C2x*ln(x) + (x^2)/2 + x

где C1 и C2 - произвольные постоянные.