Для нахождения минимального значения функции F(x) на отрезке [-4; 0] необходимо найти критические точки функции внутри данного отрека.

Найдем производную функции F(x):
F'(x) = 6x^2 + 6x - 36.

Найдем критические точки, приравнивая производную F'(x) к нулю:
6x^2 + 6x - 36 = 0
x^2 + x - 6 = 0
(x + 3)(x - 2) = 0
x = -3 or x = 2

Проверим значения функции F(x) в найденных критических точках и на концах отрезка [-4; 0]:
F(-4) = 2(-4)^3 + 3(-4)^2 - 36(-4) + 1 = -175
F(-3) = 2(-3)^3 + 3(-3)^2 - 36(-3) + 1 = -26
F(0) = 2(0)^3 + 3(0)^2 - 36(0) + 1 = 1
F(2) = 2(2)^3 + 3(2)^2 - 36(2) + 1 = -31

Сравниваем значения и видим, что минимальное значение функции F(x) на отрезке [-4; 0] равно -26 и достигается в точке x = -3.