Для нахождения суммы первых n членов геометрической прогрессии можно воспользоваться формулой:
S_n = b_1 * (1 - q^n) / (1 - q),

где b_1 - первый член прогрессии, q - знаменатель прогрессии, n - количество членов, S_n - сумма первых n членов.

В данном случае первый член прогрессии b_1 = b1 = (2^1 + 1) / 5 = 3/5, а знаменатель q = (b_2) / b_1 = b2 / b1 = ((2^2 + 1) / 5) / (3/5) = ((4 + 1) / 5) / (3/5) = (5/5) / (3/5) = 5/3.

Теперь можем найти сумму S_8 для первых 8 членов прогрессии:
S_8 = b_1 (1 - q^8) / (1 - q) = (3/5) (1 - (5/3)^8) / (1 - 5/3).

После подстановки и упрощения выражения:

S_8 = (3/5) (1 - (390625 / 6561)) / (1 - 5/3) = (3/5) (-389106 / 6561) / (-2 / 3) = (3/5) (3/2) (389106 / 6561) = 1/2 * 389106 / 6561 = 194553 / 6561 = 29739 / 109.

Итак, сумма S_8 для первых 8 членов геометрической прогрессии равна 29739 / 109.