Для нахождения производной данного выражения необходимо воспользоваться правилами дифференцирования.

Давайте найдем производную данной функции по переменной x.

Для начала разложим заданное выражение:

tg^9((1-2x)/(3x+1)) = tg^9 ((1-2x) / (3x+1))

Теперь продифференцируем это выражение. Для этого нам понадобятся правила дифференцирования. Для производной произведения функций применяется правило производной произведения:

(fg)' = f'g + fg'

Также нам понадобится правило дифференцирования тангенса:

(d/dx)tan(x) = sec^2(x)

Итак, продифференцируем выражение:

d/dx (tg^9 ((1-2x) / (3x+1))) =
= tg^9 d/dx((1-2x) / (3x+1)) + ((1-2x) / (3x+1)) d/dx(tg^9)
= tg^9 (((0(3x+1) - (1-2x)3)/(3x+1)^2)) + tg^9 sec^2(tg)^9 9

Упростим это выражение и запишем окончательный результат.