Обозначим знаменатель прогрессии как q, а первый член прогрессии как a.

Тогда 13-й член прогрессии будет равен: aq^12
12-й член прогрессии будет равен: aq^11
14-й член прогрессии будет равен: a*q^13

Из условия задачи мы можем записать уравнение:
12aq^1112 + aq^13 = 8(aq^12)
144aq^11 + aq^13 = 8aq^12
144q + q^2 = 8q^2
q^2 - 8q + 144 = 0

Далее найдем корни квадратного уравнения:
D = 8^2 - 41144 = 64 - 576 = -512

q = (8 ± √(-512))/2 = (8 ± 22.63i)/2

Так как мы имеем дело с геометрической прогрессией, то знаменатель должен быть вещественным положительным числом, значит q = 4.

И проверим:
12a4^1112 + a4^13 = 8(a4^12)
12a2^22 + a2^26 = 8a2^24
122^22 + 2^26 = 82^24
124 + 2^4 = 8*16
48 + 16 = 128
64 = 64

Проверка пройдена, значит q = 4.