Для решения задачи воспользуемся свойствами вписанной трапеции и её диагоналей.

Обозначим:

( AB ) и ( CD ) — основания трапеции,( AD ) и ( BC ) — боковые стороны,( O ) — центр вписанной окружности,( X ) — точка пересечения диагоналей.

Известно, что диагонали ( AC ) и ( BD ) равны и перпендикулярны, то есть ( AC = BD = 12\sqrt{2} ). Поскольку диагонали равны и делят друг друга пополам, то каждое из отрезков ( AX = CX = BX = DX = \frac{AC}{2} = \frac{12\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2} ).

Расстояние от центра окружности до точки пересечения диагоналей ( OX = 8 ).

Рассмотрим треугольники ( OXA ) и ( OXB ). Поскольку ( OX ) — перпендикуляр к линиям, проведённым от центра окружности до точек касания, и из треугольников видно, что мы можем использовать теорему Пифагора.

Обозначим радиус окружности как ( R ). Тогда в любом из этих треугольников:

[
OA^2 = OX^2 + AX^2
]
[
R^2 = 8^2 + (6\sqrt{2})^2
]
[
R^2 = 64 + 72 = 136
]
[
R = \sqrt{136} = 2\sqrt{34}
]

Таким образом, радиус окружности равен ( 2\sqrt{34} ).