Да, построение графика функции ( f(x) = (2 + x)^2 ) удобно начать с раскрытия квадратного выражения. Давайте это сделаем:

[
f(x) = (2 + x)^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot x + x^2 = 4 + 4x + x^2
]

Теперь у нас есть стандартная форма квадратного уравнения:

[
f(x) = x^2 + 4x + 4
]

Чтобы построить график этой функции, можно определить её ключевые характеристики. Парабола имеет форму "U" и открыта вверх, так как коэффициент при ( x^2 ) положительный.

Шаги для построения графика:

Нахождение вершины параболы:
Вершина параболы задана координатами ( x = -\frac{b}{2a} ), где ( a = 1 ) и ( b = 4 ):
[
x = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2
]
Подставляем ( x ) в уравнение, чтобы найти ( y ):
[
f(-2) = (-2)^2 + 4 \cdot (-2) + 4 = 4 - 8 + 4 = 0
]
Таким образом, координаты вершины: ((-2, 0)).

Нахождение корней уравнения:
Мы можем решить уравнение ( f(x) = 0 ):
[
x^2 + 4x + 4 = 0
]
Это уравнение имеет двойной корень (поскольку дискриминант равен нулю):
[
D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 0
]
Таким образом, корень:
[
x = -\frac{b}{2a} = -2
]
Этот корень совпадает с вершиной.

Построение дополнительных точек:
Вы можете выбрать несколько значений ( x ) для получения дополнительных точек. Например:

При ( x = -3 ):
[
f(-3) = (-3 + 2)^2 = 1
]При ( x = -1 ):
[
f(-1) = (-1 + 2)^2 = 1
]При ( x = 0 ):
[
f(0) = (0 + 2)^2 = 4
]При ( x = 1 ):
[
f(1) = (1 + 2)^2 = 9
]

Интерполяция:
Теперь у нас есть несколько точек, которые мы можем использовать для построения графика:

Вершина: ((-2, 0))Другие точки: ((-3, 1)), ((-1, 1)), ((0, 4)), ((1, 9))

Построение графика:
На координатной плоскости отметьте все найденные точки и соедините их плавной кривой, чтобы получить график функции.

График будет симметричен относительно вертикальной линии, проходящей через вершину, и будет выглядеть как парабола, открывающаяся вверх.