Чтобы исследовать функцию ( f(x) = x^3 + 3x + 2 ), мы можем выполнить следующие шаги:

Определить область определения: Функция ( f(x) ) определена для всех действительных чисел ( x ).

Найти производную: Найдем первую производную функции для анализа монотонности.
[
f'(x) = 3x^2 + 3 = 3(x^2 + 1)
]

Производная всегда положительна, так как ( x^2 + 1 > 0 ) для всех ( x ). Это означает, что функция ( f(x) ) является строго возрастающей на всей своей области определения.

Найти критические точки: Поскольку производная не равна нулю при всех ( x ), критических точек нет.

Проверить поведение на границах:

При ( x \to -\infty ): ( f(x) \to -\infty )При ( x \to +\infty ): ( f(x) \to +\infty )

Найти значения функции в некоторых точках:

( f(-2) = (-2)^3 + 3(-2) + 2 = -8 - 6 + 2 = -12 )( f(-1) = (-1)^3 + 3(-1) + 2 = -1 - 3 + 2 = -2 )( f(0) = 0^3 + 3 \cdot 0 + 2 = 2 )( f(1) = 1^3 + 3 \cdot 1 + 2 = 1 + 3 + 2 = 6 )( f(2) = 2^3 + 3 \cdot 2 + 2 = 8 + 6 + 2 = 16 )

Найти вторую производную: Чтобы определить выпуклость, найдем вторую производную:
[
f''(x) = 6x
]

( f''(x) > 0 ) для ( x > 0 ) (выпуклая вверх)( f''(x) < 0 ) для ( x < 0 ) (выпуклая вниз)В точке ( x = 0 ) имеется точка перегиба.

Построить график функции:
Основные точки, найденные выше, позволят нам построить график. Функция начинается в (-\infty), продолжает восходить через точки (-2, -12), (-1, -2), (0, 2), (1, 6) и далее уходит к (+\infty).

График функции будет выглядеть как полиномиальная кривая, плавно восходящая с точки перегиба в (x = 0).

Ниже представлен примерный график функции ( f(x) = x^3 + 3x + 2 ):

|
6| *
| /
4| /
| /
2| *
| /
0|---*--------------
-2| /
| /
-4| /
|/
-12|*
|
|
+---------------------------------
-2 -1 0 1 2

Используя подходящие инструменты (например, графические калькуляторы или программное обеспечение для построения графиков), вы сможете получить более точный график функции.