Давайте рассмотрим основные моменты, касающиеся дискриминанта и корней квадратного уравнения.

Квадратное уравнение имеет вид:

[ ax^2 + bx + c = 0, ]

где ( a, b, c ) — коэффициенты, при этом ( a \neq 0 ). Дискриминант для этого уравнения вычисляется по формуле:

[ D = b^2 - 4ac. ]

Вот, как дискриминант влияет на количество корней уравнения:

Если ( D > 0 ):

В этом случае уравнение имеет два различных вещественных корня. Это происходит потому, что два различных значения ( x ) дают равенство нулю. Если подставить формулу для корней:
[
x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a},
]
корни различаются, так как ( \sqrt{D} ) — положительное число добавляет и убирает одно и то же значение.

Если ( D = 0 ):

В этом случае уравнение имеет один корень, но его значение считается кратным (двойным). Формула для нахождения корня:
[
x = \frac{-b}{2a}.
]
Поскольку дискриминант равен нулю, значения для добавления и вычитания ( \sqrt{D} ) становятся одинаковыми, в результате чего у нас есть один и тот же корень, но он называется кратным, потому что он «касательный» к оси абсцисс (график параболы касается оси х в одной точке).

Если ( D < 0 ):

В этом случае уравнение не имеет вещественных корней, а имеет два комплексных корня. Дискриминант отрицателен, поэтому под корнем появляется отрицательное значение, что приводит к комплексным числам. Корни могут быть выражены как:
[
x_1 = \frac{-b + i\sqrt{|D|}}{2a} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-b - i\sqrt{|D|}}{2a},
]
где ( i ) — мнимая единица.

Таким образом, поведение корней уравнения связано с тем, какой знак имеет дискриминант. Он определяет количество решений (вещественных или комплексных), а также их свойства (различные или кратные).