Пусть загаданные Ваней числа равны ( a ), ( b ) и ( c ). Условие задачи можно записать как:

[
\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 0.7
]

Умножим оба члена уравнения на ( abc ):

[
bc + ac + ab = 0.7abc
]

Перепишем это уравнение:

[
bc + ac + ab - 0.7abc = 0
]

Теперь выразим сумму ( S = a + b + c ). Для максимизации ( S ), сделаем следующее предположение: так как числа ( a ), ( b ), ( c ) должны быть натуральными, и их значения должны быть максимально возможными, предположим, что ( a < b < c ).

Попробуем подбирать значения ( a ), ( b ) и ( c ) таким образом, чтобы увеличивать ( S ) при сохранении условия.

Проверка значений:

Попробуем взять ( a = 1 ):

[
\frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 0.7 - 1 \Rightarrow \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = -0.3
]

Такой подход не имеет смысла, так как сумма дробей не может быть отрицательной.

Теперь попробуем взять ( a = 2 ):

[
\frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 0.7 - 0.5 \Rightarrow \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 0.2
]

Решаем уравнение:

Умножив на ( bc ), получим:

[
c + b = 0.2bc
]

Теперь перепишем это уравнение:

[
0.2bc - b - c = 0
]

Переписывая его в нейтральной форме:

[
bc - 5b - 5c = 0
]

Если предположить, что ( b ) и ( c ) - натуральные числа, их можно выразить как:

[
(b-5)(c-5) = 25
]

Найдём пары ( (b-5) ) и ( (c-5) ):

( 1 \cdot 25 )( 5 \cdot 5 )( 25 \cdot 1 )

Перебираем возможные пары:

( b - 5 = 1 ) и ( c - 5 = 25 ):

( b = 6 ), ( c = 30 ), тогда ( S = 2 + 6 + 30 = 38 ).

( b - 5 = 5 ) и ( c - 5 = 5 ) (отбрасываем, так как числа разные).

( b - 5 = 25 ) и ( c - 5 = 1 ):

( b = 30 ), ( c = 6 ) (это та же пара, что выше).

В итоге, максимальная сумма, которая получается при использовании ( a = 2 ), ( b = 6 ) и ( c = 30):

[
S = 2 + 6 + 30 = 38
]

Ответ:

Наибольшая возможная сумма загаданных чисел равна ( \boxed{38} ).