Чтобы доказать, что высоты треугольников (B_1PQ) и (B_1C_1Q), проведенные из вершин (P) и (Q) соответственно к основанию (BQ), совпадают в одной и той же точке на (BQ), следуем следующим шагам:

Установите координаты: Задайте координаты точек в прямоугольном параллелепипеде. Пусть (A(0, 0, 0)), (B(a, 0, 0)), (C(a, b, 0)), (D(0, b, 0)), (A_1(0, 0, h)), (B_1(a, 0, h)), (C_1(a, b, h)), (D_1(0, b, h)), где (AB = a), (AD = 2a), (AA_1 = a) (то есть (b = 2a)).

Определите координаты точек:

Середина ребра (AA_1) (точка (P)): (P(0, 0, \frac{h}{2}))Середина ребра (CC_1) (точка (Q)): (Q(a, b, \frac{h}{2}))Точка (B): (B(a, 0, 0))

Определите уравнение высоты из точки (P) к отрезку (BQ):

Уравнение отрезка (BQ) можно представить в параметрической форме:
[
BQ: (1-t)B + tQ = (a(1-t), 2a t, \frac{h}{2})
]Высота (h_P) из точки (P) перпендикулярна отрезку (BQ). Убедитесь, что направляющий вектор (BQ) определяет направление, а нормаль — прошлое направление.

Определите уравнение высоты из точки (Q) к отрезку (BQ):

Аналогично, можно найти нормаль, проведенную из (Q) до прямой (BQ). Прежде чем определить весовые параметры, установите точки пересечения.

Проверка совпадения:

Если высоты, проведенные из (P) и (Q), сопровождаются отношением к координированным плоскостям (параметризация), это говорит о том, что они пересекают линию (BQ) в одной и той же точке.

Кроме того, если вы хотите убедиться, можно использовать векторные методики:

Составьте вектор, направленный от (B) к (Q), а затем проверьте угол между этим вектором и высотами из (P) и (Q).

Этим путем вы сможете формально доказать, что высоты не только совпадают, но и пересекаются в одной точке на отрезке (BQ).