Давайте найдем сумму, разность, произведение и частное двух комплексных чисел ( Z_1 = 5 + 3i ) и ( Z_2 = 3 + i ).

Сумма:
[
Z_1 + Z_2 = (5 + 3i) + (3 + i) = (5 + 3) + (3i + i) = 8 + 4i
]

Разность:
[
Z_1 - Z_2 = (5 + 3i) - (3 + i) = (5 - 3) + (3i - i) = 2 + 2i
]

Произведение:
[
Z_1 \cdot Z_2 = (5 + 3i)(3 + i)
]
Используем распределительный закон:
[
= 5 \cdot 3 + 5 \cdot i + 3i \cdot 3 + 3i \cdot i = 15 + 5i + 9i + 3i^2
]
Поскольку ( i^2 = -1 ), получаем:
[
= 15 + 14i - 3 = 12 + 14i
]

Частное:
[
\frac{Z_1}{Z_2} = \frac{5 + 3i}{3 + i}
]
Умножим числитель и знаменатель на сопряженное значение знаменателя:
[
= \frac{(5 + 3i)(3 - i)}{(3 + i)(3 - i)} = \frac{(15 - 5i + 9i - 3i^2)}{9 + 1}
]
Подсчитаем:
[
= \frac{(15 + 3 - 5i + 9i)}{10} = \frac{18 + 4i}{10} = \frac{18}{10} + \frac{4}{10}i = 1.8 + 0.4i
]

Теперь подведем итоги по всем операциям:

Сумма: ( 8 + 4i )Разность: ( 2 + 2i )Произведение: ( 12 + 14i )Частное: ( 1.8 + 0.4i )

Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь спрашивать!