Для того чтобы найти абсциссу точки касания прямой ( y = 2x + 37 ) и графика функции ( f(x) = x^3 + 3x^2 - 7x + 10 ), нам нужно сделать следующее:

Найти производную функции ( f(x) ) и приравнять её к угловому коэффициенту касательной, то есть к 2.Решить уравнение для нахождения ( x ).Подставить найденное значение ( x ) в функцию ( f(x) ), чтобы проверить, совпадает ли точка касания с уравнением прямой.

Сначала найдем производную ( f(x) ):
[
f'(x) = 3x^2 + 6x - 7.
]
Теперь приравняем производную к угловому коэффициенту:
[
3x^2 + 6x - 7 = 2.
]
Переносим 2 в левую сторону:

[
3x^2 + 6x - 9 = 0.
]

Разделим все члены уравнения на 3:
[
x^2 + 2x - 3 = 0.
]

Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16.
]

Теперь найдем корни уравнения:
[
x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm 4}{2} = \frac{2}{2} \text{ или } \frac{-6}{2}.
]
Таким образом, получаем:
[
x_1 = 1 \quad \text{и} \quad x_2 = -3.
]

Теперь нужно проверить, является ли один из найденных корней точкой касания. Для этого подставим ( x = 1 ) и ( x = -3 ) в функцию ( f(x) ) и в уравнение касательной.

Для ( x = 1 ):
[
f(1) = 1^3 + 3 \cdot 1^2 - 7 \cdot 1 + 10 = 1 + 3 - 7 + 10 = 7.
]
Тогда точка на касательной:
[
y = 2(1) + 37 = 39.
]
Точки не совпадают, значит это не точка касания.

Для ( x = -3 ):
[
f(-3) = (-3)^3 + 3 \cdot (-3)^2 - 7 \cdot (-3) + 10 = -27 + 27 + 21 + 10 = 31.
]
Тогда точка на касательной:
[
y = 2(-3) + 37 = -6 + 37 = 31.
]
Точки совпадают, значит прямая касательная действительно проходит через точку (( -3, 31 )).

Таким образом, абсцисса точки касания равна:
[
\boxed{-3}.
]