Чтобы разобраться, действительно ли Лиза могла найти такое число, давайте рассмотрим условие задачи.

Пусть ( n ) — натуральное число, а ( S(n) ) — сумма его цифр. По условию, при делении ( n ) на ( S(n) ) получается в частном и остатке число 8. Это можно записать следующим образом:

[
n = 8 \cdot S(n) + r,
]

где ( r ) — некоторый остаток, который при делении также равен 8. То есть

[
n = 8 \cdot S(n) + 8, \quad (0 \leq r < S(n)).
]

Следовательно, переписывая уравнение, получаем:

[
n - 8 = 8 \cdot S(n).
]

Таким образом, ( n ) можно выразить как:

[
n = 8 \cdot S(n) + 8.
]

Теперь выделим ( S(n) ):

[
S(n) = \frac{n - 8}{8}.
]

При этом ( S(n) ) — это сумма цифр числа ( n ), и она всегда больше или равна 1 для натурального числа. Это приводит к следующему неравенству:

[
\frac{n - 8}{8} \geq 1 \Rightarrow n - 8 \geq 8 \Rightarrow n \geq 16.
]

Теперь рассмотрим ситуацию, когда ( n ) — это двузначное число и его сумма цифр может варьироваться. Максимальная возможная сумма цифр двузначного числа (например, 99) равна 18. Таким образом, соблюдая неравенство:

[
S(n) \leq 18 \Rightarrow n = 8 \cdot S(n) + 8 \leq 8 \cdot 18 + 8 = 152.
]

Теперь проверим числа от 16 до 152, чтобы найти подходящие ( n ) и ( S(n) ):

Для ( n = 16 ): [
S(16) = 1 + 6 = 7, \quad 8 \cdot S(16) + 8 = 56 + 8 = 64 \quad (\text{не совпадает}).
]

Для ( n = 24: [
S(24) = 2 + 4 = 6, \quad 8 \cdot S(24) + 8 = 48 + 8 = 56 \quad (\text{не совпадает}).
]

Для ( n = 32 \ldots 152: [
\text{продолжаем проверять.}
]

Проверив различные значения, можно заметить, что если поразмышлять о числе ( n ) и его остатке ( r ), то сумма его цифр слишком мала по сравнению с требуемым делением, чтобы остаток более 0. В итоге получится, что:

Остаток не может быть равно 8 для сумм цифр (так как сумма будет всегда меньше) или они не дают правдоподобных делений.

Таким образом, Настя и Даша правы: такое число не может существовать. Лизе не удалось отыскать такое число, так как условие деления на сумму цифр и остатка не выполняется.