Обозначим стороны выпуклого четырёхугольника как ( a = 5 ), ( b = 9 ), ( c = 5 ) и ( d = 16 ). Пусть длина diagonale будет ( x ).

В выпуклом четырехугольнике сумма длин противоположных сторон равна сумме длин двух диагоналей. В данном случае, у нас:

[ a + c = b + d ]

Подставляя значения, получаем:

[ 5 + 5 = 9 + 16 ]

Это не выполняется, так как ( 10 \neq 25 ).

Однако мы можем начать с использования свойств и формул для диагоналей. Одним из способов найти длину диагоналей является использование теоремы о диагоналях. Если длины всех диагоналей равны, мы можем использовать приближенную формулу для нахождения диагоналей:

Для произвольного четырехугольника с известными сторонами ( a, b, c, d ) и диагоналями ( p ) и ( q ):
[ p^2 + q^2 = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 ]

Если принять, что ( p = q = x ), то:
[ 2x^2 = a^2 + b^2 + c^2 + d^2 ]

Подставим значения:
[ a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 5^2 + 9^2 + 5^2 + 16^2 ]
[ = 25 + 81 + 25 + 256 ]
[ = 387 ]

Тогда у нас получается:
[ 2x^2 = 387 ]
[ x^2 = 193.5 ]
[ x \approx \sqrt{193.5} \approx 13.92 ]

Так как длины диагоналей должны быть целыми числами, судя по выводам, они не могут быть равны, если следовать всем данным условиям. Поэтому, возможно, такие диагонали существует, но что диагонали не равны.

Для возникновения таких равных сторон, четырёхугольник должен иметь различные значения которые позволили бы разным способом найти длину диагоналей, которые могли бы быть равны.

Можно также сказать, что с данным набором сторон, целых равных диагоналей получить нельзя.

Пользуясь свойствами и теоремами, данный четырехугольник не предоставляет равны диагонали.