Для решения задачи начнем с того, что у нас есть две параллельные плоскости (a) и (b) и точка (M), не лежащая между ними.

Прямые (a) и (b) пересекают плоскости в следующих точках:

Прямая (a) пересекает плоскости в точках (A_1) и (B_1).Прямая (b) пересекает плоскости в точках (A_2) и (B_2).

Дано соотношение:
[
\frac{A_1A_2}{B_1B_2} = \frac{3}{4}
]
и длина отрезка (MA_2 = 12).

Обозначим длину отрезка (B_1B_2) как (x). Тогда длина отрезка (A_1A_2) с учётом данного отношения будет равна:
[
A_1A_2 = \frac{3}{4}x.
]

Так как отрезки (A_1A_2) и (B_1B_2) находятся в одной плоскости и перпендикулярны к плоскостям (a) и (b), можем использовать подобие треугольников или аналогию между отрезками.

Теперь, чтобы найти длину отрезка (MV_2), заметим, что отрезки (MA_2) и (MB_2) будут соотношениями, связанными с расстоянием между плоскостями и отношениями отрезков.

Так как точки (A_1) и (B_1) соотносятся с (A_2) и (B_2) по тем же отношениям, должно выполниться:
[
\frac{MA_2}{MB_2} = \frac{A_1A_2}{B_1B_2} = \frac{3}{4}.
]

Обозначим (MB_2) как (y). Тогда из отношения имеем:

[
\frac{12}{y} = \frac{3}{4}.
]

Решим это уравнение:
[
12 \cdot 4 = 3y \implies 48 = 3y \implies y = \frac{48}{3} = 16.
]

Итак, длина отрезка (MB_2) равна:
[
\boxed{16}.
]