Чтобы найти общий вид первообразных функции ( f(x) = \frac{(4-5x)^3 - 1}{(2x-1)^3} ), нам нужно сначала упростить выражение и затем проинтегрировать его.

Упрощение функции:
Мы можем начать с разложения ( (4 - 5x)^3 ) и ( (2x - 1)^3 ).

Обозначим ( u = 4 - 5x ) и ( v = 2x - 1 ).

Таким образом, выражение можно переписать как ( f(x) = \frac{u^3 - 1}{v^3} ).

Используя формулу разности кубов, мы имеем:
[
u^3 - 1 = (u - 1)(u^2 + u + 1) \rightarrow u - 1 = (4 - 5x - 1) = 3 - 5x
]

Теперь найдем ( v = 2x - 1 ):
[
v = 2x - 1
]

Легкое разложение:
Мы можем воспользоваться простым разложением дроби, например, вычисляя с помощью деления многочленов.

Поиск первообразной:
Для поиска первообразной можно также интегрировать функцию ( f(x) ) напрямую. Сделаем это:

[
\int f(x) \, dx
]

Это может потребовать применения метода подстановки или интегрирования по частям, в зависимости от вида функции после упрощения.

Итак, общий вид первообразных:
В результате интегрирования вы получите первообразную в виде:
[
F(x) = C + \text{(некоторый многочлен и/или стандартные функции)}
]
где ( C ) — произвольная константа интегрирования.

При интегрировании конкретной функции без мелких шагов может потребоваться больше информации о форме функции для точного вычисления. Однако общая форма первообразной функции будет включать интегралы от простых дробей, произведений многочленов либо трансцендентных функций.

Если нужно более детальное решение с конкретными шагами интегрирования, дайте знать!