Для решения задачи, в которой вам необходимо найти сторону (a) и углы ( \beta ) и ( \gamma ) в треугольнике с заданными значениями ( c = 18 ), ( b = 10 ) и углом ( \alpha = 60^\circ ), воспользуемся теоремой синусов.

Теорема синусов гласит:

[
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}
]

Где:

( A = \alpha = 60^\circ )( B = \beta )( C = \gamma )

Сначала найдем сторону ( a ):

Используем формулу:

[
\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}
]

Решаем относительно ( a ):

[
a = \frac{c \cdot \sin A}{\sin C}
]

Сначала найдем угол ( C ) (где ( C = \gamma )).

Так как в треугольнике сумма углов равна ( 180^\circ ):

[
\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta
]

Теперь мы можем выразить ( \beta ):

[
\beta = 180^\circ - 60^\circ - \gamma
]

Таким образом, чтобы найти величину угла ( \gamma ), используем теорему синусов:

[
\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}
]

Подставляем известные значения и находим ( \sin B ):

[
\frac{10}{\sin \beta} = \frac{18}{\sin \gamma}
]

Теперь нам нужно найти ( \sin \gamma ) или ( \sin \beta ).

Далее мы воспользуемся соотношением между сторонами и углами в прямоугольном или произвольном треугольнике.

Однако проще будет выразить угол ( \gamma ) с использованием косинусного закона, если ( \beta ) остается неизвестным.

Применим Косинусный закон:

[
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos \alpha
]

В результате, если нам известны стороны и угол, мы можем решить уравнение для нахождения стороны ( a ).

Однако, чтобы решить этот треугольник, нужно либо найти другие углы методом проб и ошибок (обычно рассматривая известные значения), либо применив некоторую тригонометрическую оптимизацию.

Укажите, пожалуйста, если нужно больше описания по конкретным шагам!