Для решения данного уравнения с разделенными переменными, начнем с приведения выражения к более удобному виду. Уравнение имеет вид:

[
\frac{x}{x^2 + 1} dx = \frac{3y}{4 - 3y^2} dy
]

Теперь мы можем разделить переменные, записав его в следующем виде:

[
\frac{x}{x^2 + 1} dx = \frac{3y}{4 - 3y^2} dy
]

Теперь интегрируем обе стороны:

Интегрируем левую часть:

[
\int \frac{x}{x^2 + 1} dx
]

Вы можете использовать подстановку. Пусть ( u = x^2 + 1 ), тогда ( du = 2x dx ), или ( dx = \frac{du}{2x} ). Затем подстановка дает:

[
\int \frac{x}{u} \frac{du}{2x} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} du = \frac{1}{2} \ln |u| + C_1 = \frac{1}{2} \ln (x^2 + 1) + C_1
]

Теперь интегрируем правую часть:

[
\int \frac{3y}{4 - 3y^2} dy
]

Для этого используем подстановку ( v = 4 - 3y^2 ), откуда ( dv = -6y dy ), или ( dy = \frac{dv}{-6y} ). Тогда имеем:

[
\int \frac{3y}{v} \frac{dv}{-6y} = -\frac{1}{2} \int \frac{1}{v} dv = -\frac{1}{2} \ln |v| + C_2 = -\frac{1}{2} \ln (4 - 3y^2) + C_2
]

Подставляем результаты интегрирования обратно:

[
\frac{1}{2} \ln (x^2 + 1) = -\frac{1}{2} \ln (4 - 3y^2) + C
]

Умножим уравнение на 2 для простоты:

[
\ln (x^2 + 1) = -\ln (4 - 3y^2) + C'
]

Применим свойства логарифмов:

[
\ln (x^2 + 1) + \ln (4 - 3y^2) = C'
]

Объединяем логарифмы:

[
\ln((x^2 + 1)(4 - 3y^2)) = C'
]

Возводим в степень, чтобы отменить логарифм:

[
(x^2 + 1)(4 - 3y^2) = e^{C'}
]

Таким образом, решение уравнения имеет вид:

[
(x^2 + 1)(4 - 3y^2) = C
]

где ( C = e^{C'} ) — произвольная положительная константа.