Чтобы найти расстояние между точками касания ( A ) и ( B ), воспользуемся свойствами касательных к окружности.

Дано:

По свойству касательных к окружности от одной точки (в данном случае точки ( M )) мы знаем, что длины касательных равны. Рассмотрим треугольник ( OAB ), где ( O ) — центр окружности, ( A ) и ( B ) — точки касания, а ( M ) — внешняя точка.

По теореме о длине касательной, можно записать:

[
OA = OB = r,
]
где ( r ) — радиус окружности.

В треугольнике ( OMA ) и ( OMB ) угол ( OMA ) и угол ( OMB ) равны ( 90^\circ ) (поскольку касательные перпендикулярны радиусам в точках касания).

Напишем по теореме Пифагора:

[
OM^2 = OA^2 + MA^2,
]
откуда

[
OM^2 = r^2 + 7^2 = r^2 + 49.
]

Аналогично для точки ( B ):

[
OM^2 = r^2 + 7^2 = r^2 + 49.
]

Теперь найдём расстояние ( AB ). Это отрезок между точками касания, и в общем виде его можно выразить через длину отрезка ( OM ) и угол ( AOB ).

Сначала найдем угол ( AOB ). Углы ( OMA ) и ( OMB ) оба равны ( 90^\circ ), а значит, угол ( AOB ) (внутренний угол между радиусами) равен ( 180^\circ - 2 \times \theta ), где ( \theta ) — угол ( OMA ) или ( OMB ).

Согласно теореме о касательных, угол ( AOB ) можно выразить через длину касательных ( MA ) и радиус ( r ):

[
AB = 2 \cdot MA \cdot \sin \frac{AOB}{2}.
]

Так как у нас равные длины касательных, мы можем воспользоваться другой теоремой для окружности: длина отрезка ( AB ) равна:

[
AB = 2 \cdot \sqrt{MA^2 - r^2}.
]

Теперь подставим значения:

[
AB = 2 \cdot \sqrt{7^2 - r^2} = 2 \cdot \sqrt{49 - r^2}.
]

Но поскольку ( r^2 ) не задано, мы не можем получить конкретное значение. Однако, если радиус ( r ) известен, подставив его в формулу, можно найти ( AB ).

Если радиус не задан, то ответ останется в виде:

[
AB = 2 \cdot \sqrt{49 - r^2}.
]

Для полного ответа необходимо значение радиуса ( r ).