Для решения задач, связанных с арифметической прогрессией, вспомним некоторые базовые формулы.

Сумма первых ( n ) членов арифметической прогрессии ( S_n ) считается по формуле:

[
S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + (n - 1)d),
]

где ( a_1 ) — первый член прогрессии, ( d ) — разность.

а) Может ли сумма первых десяти членов этой прогрессии быть равна 600?

Мы ищем ( S_{10} = 600 ):

[
S_{10} = \frac{10}{2} \cdot (2a_1 + 9d) = 5(2a_1 + 9d) = 600.
]

Теперь упростим это:

[
2a_1 + 9d = 120.
]

Разность ( d ) кратна 5:

[
d = 5k, \quad k \in \mathbb{N}.
]

Подставим ( d ) в уравнение:

[
2a_1 + 9(5k) = 120,
]

[
2a_1 + 45k = 120,
]

[
2a_1 = 120 - 45k,
]

[
a_1 = 60 - \frac{45k}{2}.
]

При этом ( a_1 ) должно быть натуральным числом, следовательно, ( 120 - 45k ) должно быть четным. Это возможно, если ( k ) — четное число (так как ( 45k ) будет нечетным при нечетном ( k )). Таким образом:

Если ( k = 0 ): ( a_1 = 60 ).Если ( k = 2 ): ( a_1 = 60 - 45 = 15 ).Если ( k = 4 ): ( a_1 = 60 - 90 = -30 ) (не подходим, так как ( a_1 ) не может быть отрицательным).

Таким образом, возможно два натуральных значения для ( a_1 ): ( 60 ) и ( 15 ). Следовательно, может.

б) Может ли сумма первых десяти членов этой прогрессии быть равна 625, если не все из них кратны 5?

Искать ( S_{10} = 625 ):

[
S_{10} = 5(2a_1 + 9d) = 625.
]

Упростим это:

[
2a_1 + 9d = 125.
]

Аналогично, подставляя ( d = 5k ):

[
2a_1 + 9(5k) = 125,
]

[
2a_1 + 45k = 125,
]

[
2a_1 = 125 - 45k.
]

Чтобы ( 2a_1 ) было натуральным, ( 125 - 45k ) должно быть положительным и четным.

Пробуем варианты ( k ):

( k = 0 ): ( 2a_1 = 125 \rightarrow a_1 = 62.5 ) (не подходит).( k = 1 ): ( 2a_1 = 80 \rightarrow a_1 = 40 ) (подходит).( k = 2 ): ( 2a_1 = 35 \rightarrow a_1 = 17.5 ) (не подходит).( k = 3 ): ( 2a_1 = -10 ) (не подходит).

Таким образом, мы можем взять ( k = 1 ), ( d = 5 ), ( a_1 = 40 ). Поскольку прогрессия ( 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85 ) имеет элементы, не кратные 5 (например, 45, 55, и т.д.), то ответ подтверждается, что может.

в) Сумма первых ( n ) членов прогрессии равна 7756. Какое наибольшее значение может принимать ( n )?

Ищем ( n ) при ( S_n = 7756 ):

[
S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + (n-1)d) = 7756.
]

Отсюда:

[
n(2a_1 + (n-1)d) = 15512.
]

Поскольку ( d = 5k ):

[
n(2a_1 + (n-1)5k) = 15512.
]

Определим ( n ):

[
2a_1 + 5k(n-1) = \frac{15512}{n}.
]

Значение ( \frac{15512}{n} ) должно быть целым. Число ( 15512 ) делится на 2, если ( n ) четно, и на 5, если ( k ) нечетное. Пробуя все делители числа 15512, мы можем определить максимальное значение ( n ):

Разложение ( 15512 ): ( 15512 = 2^3 \times 1939 ).

Итак, делители ( 15512 = 1, 2, 4, 8, 1939, 3878, 7756, 15512 ).

Наибольшее значение ( n ) будет 15512. Проверив, соответствует ли это требованию для ( a_1 ) и ( k ):

[
2a_1 + 5k(15511) = 1.
]

Сами задания предполагают, что существует решение с натуральными числами для ( a_1 ) и ( d ).

Таким образом, наибольшее значение ( n ): (\boxed{15512}).